关键词:
偏微分方程
有限元
有限差分
人工智能
随机神经网络
算子学习
摘要:
偏微分方程在物理、工程、生物、医学、金融等多个领域具有广泛的应用。然而,在解决许多实际问题时,偏微分方程往往难以获得解析解。因此,构造高效的数值方法以求解这些问题成为了重要的研究方向。传统的数值方法,如有限元法和有限差分法,已成为科学计算中的核心工具,并在天气预报、油藏勘探、飞行器设计及新能源开发等领域发挥了不可替代的作用。这些方法通常依赖于对问题域的网格划分,但网格生成过程复杂且耗时,尤其是在处理区域形状复杂或具有大变形的问题时。此外,时间迭代方法可能会面临不稳定性和误差累积的问题,影响计算的效率和准确性。高维问题的求解中,这些传统方法还面临“维数灾难”,即计算资源需求急剧增加,导致求解过程变得困难。为解决这些问题,作为一种新兴技术,深度神经网络模型已广泛应用于各种偏微分方程的求解,并展现出了巨大的潜力。本文综述了该领域的最新研究进展,重点探讨神经网络的逼近性理论、偏微分方程的神经网络方法、基于变分原理的神经网络方法、基于随机神经网络的求解方法及数据驱动的算子学习方法。