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关键词： 波动方程   法向双曲平均曲率流   零条件   周期解   爆破   生命跨度  

摘要： 本文主要研究法向双曲平均曲率流的有关问题.第一方面,基于Le Floch和Smoczyk从最小势能原理出发推导出的法向双曲平均曲率流(HMCF),首先将HMCF转化为几何波动方程,接着计算得到其部分显式解和轴对称解.与此同时,进一步探究了该方程在三维情况下具有零条件,且在二维特例时仅满足Alinhac的第一个零条件.基于这些有趣的发现,可以得到光滑解整体存在的结果.最后讨论了一类稳态解的稳定性问题.第二方面,研究一般的严格双曲型微分方程组周期解问题,很多几何流问题都可归结为此类方程组,当初值满足一定条件时,利用特征线方法证明其光滑周期解将在有限时间内爆破,并给出了解的生命跨度的上下确界.

关键词： 强化学习   维度灾难   Q函数估计   低秩结构   张量分解  

摘要： 强化学习是一种机器学习方法,旨在让智能体在与环境的交互中学习最优策略以最大化收益,在自动驾驶、机器人技术、游戏开发、金融策略优化等领域有着广阔的应用前景。然而,传统的单智能体强化学习和多智能体强化学习在复杂环境中均受到维度灾难的困扰,所需处理的数据量随特征维度和智能体数量增加呈指数级增长,这使得算法的学习和优化变得困难。深度强化学习展现了对强大的环境学习能力,但其黑盒特性导致环境的底层动态无法被有效利用,其进一步的发展受到阻碍。针对这些挑战,本文展开相关研究,主要的贡献和创新点如下: 1.针对在线强化学习中的Q函数学习面临的维度灾难问题,首先使用高阶张量对Q函数进行建模,张量表示充分利用了高阶数据的内部结构信息,缓解了由于矩阵表示导致的结构信息利用不充分的问题。为了利用Q函数的低秩结构,进一步提出了基于张量分解模型的时间差分学习方法,在与环境实时交互的同时通过CP分解技术实现了张量模型的低秩估计。我们提供了Q函数在控制任务上具有低CP秩结构的有力证据。此外,对比不同的矩阵估计方案,张量模型具有更小的参数规模,并且以更低的计算复杂度获得了更好的性能表现。 2.针对深度强化学习中环境的底层动态无法被有效利用的问题,本文专注于利用Q函数的结构化优势,将经验重放缓冲区中的局部样本数据建模为高阶张量并通过CP分解利用其低秩结构,所提出方法为深度网络提供了考虑结构化优势的损失函数以提升训练效果。为了进一步提升估计效果,本文考虑了基于优先级的样本选择方案以改进对于价值高样本的侧重性学习。在控制环境中我们的方法为基于值的深度强化学习基线方法带来了显著的累计奖励提升。 3.针对多智能体强化学习中由于维度灾难导致的学习效率低下问题。首先对基于模型设置下的联合转移函数和奖励函数进行张量建模,以更好地刻画多智能体之间的相关性。并提出了一种基于低秩张量模型的状态-动作空间泛化方法,通过低秩张量分解及补全技术对未知的条目进行高效的泛化从而加速策略学习速度。仿真实验结果验证了基于低秩张量模型方法的性能显著优于基线方法。 综上所述,本文从张量视角分析了三种不同设置下的强化学习框架,以缓解维度灾难、利用高阶数据内在结构以及环境底层动态为重点研究内容,为强化学习方法在更复杂环境中的进一步落地积蓄动能。

关键词： 能谱CT   超拉普拉斯重叠组稀疏先验   图像梯度   K-means聚类   张量分解  

摘要： X射线能谱CT(Computed Tomography,CT)能够获取准确的能谱信息并对材料和组分进行准确的表征,已广泛应用于医学成像、安全性检查和无损检测等领域。由于能谱CT的能量通道狭窄,光子数量有限,能谱投影数据易被噪声污染,使得重建出来的图像质量较差。虽然现有的优化算法取得了显著进展,但对于能谱图像中的噪声去除、伪影抑制仍存在一些不足。本论文基于CT迭代算法,利用改进的全变分研究单能谱通道内的噪声和伪影去除问题,同时结合张量研究单能谱通道空域内和多通道谱域间图像的相关性特征,主要工作如下: (1)针对能谱CT图像噪声和伪影较多的问题,构建了基于超拉普拉斯重叠组稀疏先验(Overlapping Group Sparsity on Hyper-Laplacian Prior,OGS-HL)的CT重建方法,其中重叠组稀疏先验通过每个像素点梯度重叠组的信息来度量图像梯度的稀疏性,克服图像中的阶梯伪影,而超拉普拉斯先验可以很好地近似图像梯度的重尾分布,达到抑制噪声的效果。仿真小鼠和实际小鼠实验表明提出的OGS-HL方法能有效抑制图像噪声和伪影,提高重建图像质量。 (2)针对能谱CT图像在单能量通道域内和多通道能谱域间图像的相关性表征不充分的问题,构建了基于相似性张量和OGS-HL的CT重建方法。该算法利用图像域的非局部特征相似性,使用K-means聚类算法将相似的图像块聚为四阶张量组,通过张量CP分解稀疏表示图像张量,抑制重建图像中的噪声,同时在单能量通道图像域中引入OGS-HL正则项,这样可以消除在图像块作放回操作时图像像素重叠产生的伪影,确保重建图像的质量。仿真小鼠和实际小鼠实验表明提出的算法具有定量指标和定性分析上的优势。

关键词： 随机算法   张量分解   幂迭代   矩阵低秩近似   特征提取  

摘要： 随着大规模数据的发展和应用,对大规模数据进行压缩近似的需求越来越迫切。张量低秩近似分解在许多领域中有广泛的应用,如特征提取、图像处理和深度学习。在张量分解的确定性方法中通常都需要计算中间矩阵的奇异值分解再截断,对具有明显低秩的大规模数据矩阵做奇异值分解会导致计算成本的浪费。矩阵低秩近似的随机算法已经被广泛研究,其能将大规模数据进行降维,在短时间内获得较好的近似结果,随机块Krylov迭代结合了随机算法和子空间幂迭代的优势,不仅能快速地获得矩阵低秩近似,而且能降低分解中的尾能量,实验证明该算法对噪声有一定的鲁棒性。本文围绕随机块Krylov迭代对张量TT分解和张量T积分解进行改进,解决中间矩阵奇异值分解计算成本过高的问题。主要研究内容如下: (1)随机块Krylov迭代算法是一种快速随机算法,可以用于计算低秩矩阵近似,当数据矩阵的奇异值衰减速度过慢时,简单的随机算法可能会导致较差的近似结果。本文使用随机块Krylov迭代算法来加速奇异值衰减,将该算法应用于张量TT分解中,能显著提高计算效率且具备理论上的收敛性保证。在多个高维张量数据上的实验表明,该算法可以显著提升张量TT分解的计算效率且对噪声有一定的鲁棒性。 (2)将随机块Krylov迭代算法应用于张量T积分解中,结合添零离散傅里叶变换,本文提出了一种在高光谱图像的特征提取中更有效的张量可变T积随机算法,高光谱图像的实验结果表明,该算法相较于其他算法具有更好的性能表现,能够降低计算成本的同时,获得比确定性的张量T积分解算法更好的分类精度。