关键词:
H-MB方程
NH-MB方程
四阶Reverse Space NLS方程
四阶Reverse Space-Time NLS方程
达布变换方法
精确解
对称破缺
对称保持
摘要:
随着社会的进步和科学技术的发展,孤子理论已经发展成为了较为完善的理论体系,孤子也已经成为了非线性科学的重要研究课题.其数学本质是非线性波动方程,所以对非线性波动方程精确解的研究是非常必要的.目前,求解其精确解的基本方法包括:反散射方法、达布变换、B?cklund变换、Jacobi椭圆函数展开法、双线性方法等.许多非线性波动方程的精确解已经被建立,并且也通过渐近分析,数值模拟等方法和手段对孤子的性质进行了分析和研究.近年来,研究者们又将PT-对称和非局域理论也增添到了孤子理论中,于是我们又得到了更一般的孤子解.本文在此基础上研究了四类非线性波动方程,分别是H-MB方程,NH-MB方程,四阶Reverse Space NLS方程,四阶Reverse Space-Time NLS方程.基于Lax 对,取不同对称约化条件和不同背景的初始解,运用达布变换方法,结合符号计算,求得了方程的孤子解、呼吸子解和怪波解,并应用数学软件给出了这些解的图像.下面就本文所研究的四类非线性波动方程的精确解做出简要说明:1.H-MB方程:基于给定的Lax对,并取相应的对称约化条件得到了 H-MB方程,该方程的N阶达布变换已有研究给出,所以本文在此基础上,取初始解为平面波解,运用达布变换得到了双呼吸子解,并进一步研究了位置参数和调制频率对双呼吸子结合的影响,最后结合图像归纳出了它们的碰撞规律.***-MB方程:NH-MB方程是H-MB方程的非局域形式.基于H-MB方程的Lax对,并取相应的对称约化条件得到NH-MB方程.在零背景下,构建了其对称破缺的单孤子解和双孤子解,在特殊情况时,得到了对称保持的单孤子解;在平面波背景下,得到了其暗孤子解和反暗孤子解,并研究了它们的不同碰撞类型,总结了碰撞规律并推广到了更一般的情形.3.四阶Reverse Space NLS方程:基于给定的Lax对,取相应的对称约化条件得到了四阶Reverse Space NLS方程,构造了其一阶、二阶和N阶达布变换,并以类行列式的形式表示.在零背景下,给出了对称破缺的单孤子解和双孤子解,在特殊情况下,得到了对称保持的单孤子解,更进一步分析了自感应势函数在对称破缺和对称保持时的取值情况.在连续波背景,得到了暗孤子解和反暗孤子解,通过选取不同的参数值并结合符号计算,研究了暗孤子和反暗孤子的不同碰撞类型,并对其规律进行总结和归纳,推广到了更一般的情形.4.四阶 Reverse Space-Time NLS 方程:基于四阶 Reverse Space NLS 方程的 Lax 对,取与之不同的对称约化条件,得到了四阶Reverse Space-Time NLS方程.构造了其一阶和N阶达布变换.在零背景下,给出了单孤子解和双孤子解;在连续波背景下,得到了单呼吸子解,双呼吸子解,进而得到了一阶怪波解,而且在双呼吸子解求解过程中,同时考虑了位置参数对双呼吸子结合的影响.