关键词:
半线性波动方程
呼吸子解
时间周期解
变分方法
摘要:
非线性波动方程可以刻画包括流体力学、化学等多个科学领域的非线性现象,研究其解性质能为其他科学领域研究提供理论依据.非线性波动方程的呼吸子解(空间局域化的时间周期实值解)在线性色散方程中观察不到,是真正的非线性现象,因此对于非线性波动方程呼吸子解的研究有着十分重要的意义.本文研究如下R × R中的1+1维半线性波动方程其中V,q ≥0是2π-周期分布势,满足V(x)=α+β1δ1per(x)+β2δ2per(x),q(x)=τω2V(x),α>0,β1>0,β2=Mβ1,M≥ 1,且δ1per(x),δ2per(x)分别是集合Iδ1:={2nπθ:n ∈ Z},Iσ2:={2nπ:n ∈Z}上的 2π 周期延拓,0≤|τ|<τ0.f(x,u)为 2π-周期函数且满足 |f(x,u)|≤c(1+|u|p),c>0,p>1.本文主要利用变分方法证明了该半线性波动方程存在呼吸子解,具体的证明过程主要分为如下三个部分:第一部分:首先利用解的傅里叶级数展开,将波动算子分解成一组椭圆Hill-型算子(Lk)k∈Zodd,再利用Floquet理论对波动算子进行谱分析,可得它的谱远离原点,即在0附近存在谱间隙.0附近的谱间隙是通过强不定泛函的变分临界点方法找到呼吸子解的前提.第二部分:这部分内容主要研究了算子Lk的性质及呼吸子解的泛函分析框架.首先利用0附近的谱间隙对椭圆算子|Lk|进行估计,得到两个双线性形式估计,然后定义了一个呼吸子解所在的Hilbert空间H,由于双线性形式估计,可以证明此Hilbert空间在一个Lebesgue空间中存在嵌入性质,这种嵌入性质是之后利用变分方法控制非线性项的关键.第三部分:本文所研究的半线性波动方程可以看成是泛函J的Euler-Lagrange方程,从而定义一个广义Nehari流形,由于广义Nehari流形不能生成Lagrange乘子,它可以看成是一个极小化约束,利用广义Nehari流形变分方法在函数工作空间H中找到泛函J的临界点作为弱解,从而证明本文的主要结果,半线性波动方程呼吸子解的存在性和正则性.