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关键词： 线性保持   张量积   k-幂   Drazin逆   逆  

摘要： “保持问题”是指对不变量和保持某种不变量的映射的研究,是矩阵论中的热门研究课题之一.其中最活跃的分支是“线性保持问题”,即在矩阵集之间刻画保持不变量的线性映射的结构.线性保持问题不仅本身具有丰富的理论价值,同时也是研究其他数学问题的一个有力工具,如在微分几何、微分方程、数理统计、量子力学和系统控制等领域的广泛应用,均充分表明了其对推动数学理论发展的深远意义.半个世纪以来,学者们从保持的不变量及映射的性质等多个角度研究保持问题,并从多个方面进行推广.关于一般矩阵空间上的线性保持问题已经有大量的研究成果问世,基本理论体系也趋于完善.2012年,学者Chi-Kwong Li结合量子信息的应用背景,提出在矩阵张量积空间上考虑保持不变量的映射的结构,为矩阵保持问题注入了新鲜血液—张量积.本文主要针对矩阵张量积空间上的线性保持问题进行研究,主要包括以下三个方面:（1）在特征大于k（k≥2）或特征等于0的域F上,利用矩阵张量积空间上保平方幂等的线性映射的结果,刻画了矩阵张量积空间上保k-幂的线性映射的形式.同时又对矩阵张量积空间上保k-幂等的线性映射的现有结果进行了推广.（2）在元素至少有五个且特征不为2的域F上,通过利用刻画基底的像的结构及矩阵标准化的方法,给出了矩阵张量积空间上保Drazin逆的线性映射的形式.（3）在元素至少有五个且特征不为2的域F上,通过利用刻画基底的像的结构及矩阵标准化的方法,给出了矩阵张量积空间上保逆的线性映射的形式.

关键词： 鲁棒主成分分析   张量奇异值分解   子空间追踪   主成分提取   视频追踪  

摘要： 鲁棒主成分分析将原始信号分离为一个低秩子集与一个稀疏子集,其中低秩子集可以用来分析信号的主成分或对高维信号进行降维;稀疏子集用来去除数据的噪声或者对感兴趣的目标进行检测。这种通用的假设使其广泛应用于信号处理、数据分析与机器学习等领域中。张量鲁棒主成分分析(Tensor Robust Principal Component Analysis,TRPCA)是其在多维信号领域中的推广形式。按照处理数据的时序关系,TRPCA方法可以分为在线模式与离线模式。本文主要研究两种模式下的张量主成分分析问题。针对离线模式下的TRPCA问题,主流的方法主要从模型设计或数学优化的角度出发解决问题,却忽略了张量数据内部可能存在的先验信息,使得算法在实际数据上的泛化性能受限。本文借助张量奇异值分解中的傅里叶变换,从信号处理中的频率滤波的角度来解决TRPCA问题。特别的,本文将待处理的张量分解为一系列频率成分的和,再基于对数据进行频率成分分析得到的先验信息,设计各个频带的滤波系数。通过在TRPCA问题的每一次迭代中引入频域滤波,从而形成了基于频域滤波的TRPCA方法(Frequency-filtered TRPCA,FTRPCA)。实验结果表明,这种对先验信息的利用方式实现对了张量主成分的高效提取,在多种应用场景下的多种指标上均表现出了优越性。针对在线模式下的TRPCA问题,现有的方法通过学习一个稳定的低秩子空间,从而将在线TRPCA问题转化为时序化的样本在子空间内的映射问题。但子空间发生变化时,这类方法通常无法快速捕捉真实的子空间。本文提出了一种动态子空间追踪算法,其通过引入一个运动窗口,使模型聚焦于窗口内的样本,剔除窗口外的样本对模型的影响。基于此算法,随后提出了动态的在线TRPCA算法(Dynamic TRPCA,DTRPCA)。模拟各种场景的数值实验显示出了其对子空间变化的鲁棒性,证明了DTRPCA算法的有效性。随后在实时视频追踪任务场景下,实验结果表明了DTRPCA算法动态捕捉变化场景的能力,并且算法的结果显著优于同类型的在线算法。

关键词： 网络性能   低秩张量恢复   图傅里叶变换   深度展开  

摘要： 在网络技术发展的过程中,网络规模较之过去不断地扩大,由此产生的各种端到端的网络测量数据得到迅猛增长,网络测量数据愈发影响着网络动态特性。然而受到网络采集设备终端的故障或是网络通信环境的突然恶化等因素的制约,采集终端所采集到的网络测量数据会存在数据缺失的现象,甚至数据中还会伴随着部分异常值,影响网络动态特性的分析。因此,准确地估计网络测量数据和诊断异常数据已成为网络管理的重要内容,但是现有的大多数算法都较为单一,专注于解决一个任务,忽略了两个任务之间的相互关系。 为解决上述问题,本文结合网络测量数据内在结构之间蕴含的强烈空时相关性的特点,提出鲁棒空时图张量恢复算法,保证了网络测量数据的恢复质量。此外,将张量填充算法与深度学习方法相结合,提出鲁棒空时图张量展开模型。本文的主要研究内容概括如下两个方面: (1)针对网络测量数据具有近似低秩特性以及异常值的稀疏特性,本文引入鲁棒张量填充算法,提出鲁棒时空图张量恢复算法。该算法首先根据网络节点中所隐含的图结构信息,结合图傅里叶变换理论,利用图张量奇异值阈值算法,提升算法对于空间相关性的捕捉能力;其次充分利用网络测量数据中潜藏的时间平稳相关性以及节点间在空间上的相互关系,引入时空约束,提升数据恢复精度。最后在真实的Seattle数据集进行仿真验证,实验结果表明,与现有的鲁棒恢复算法相比,所提出的算法在提升恢复精度的同时,也能实现异常数据检测。 (2)针对深度学习中模型解释性差的问题,本文将深度学习与传统张量恢复算法相结合,提出具有可解释性的鲁棒空时图张量深度展开模型。该模型在优化时空张量恢复算法的基础上,将算法的迭代过程以神经网络子模块的形式展开,通过引入域变换模块学习图傅里叶域的特征,并同时利用学习模型参数和卷积层分别替代托普利兹矩阵和图拉普拉斯矩阵对空时相关性的捕捉。最后,在真实的网络流量数据上进行测试,测试结果表明深度展开模型不仅能够得到更高的恢复精度,而且能够实现数据异常检测。

关键词： 长周期光纤光栅   二维材料   重金属离子检测   生化检测  

摘要： 光纤传感器具有体积小、质量轻、抗电磁干扰和制作成本低等优点,可以对许多参量实现无标记、高灵敏度、以及复杂环境下的测量。因此,光纤传感器在现代测量技术的发展中具有良好的潜力和应用价值。长周期光纤光栅(Long period fiber grating,LPFG)由于其特殊的模式耦合,穿透包层的倏消逝波对其表面介质周围折射率(Surrounding refractive index,SRI)、浓度、等变化较为敏感,从而对传感测量和表面功能化方面具有独到的优势。本文中,改进了使用CO激光器制备长周期光纤光栅的方法,使用透镜聚焦激光之后软化加热单模光纤的方法制备出微锥型长周期光纤光栅(Micro tapered Long Period Fiber Grating,MTLPFG)这种周期性调制光纤的物理结构激发包层传输模式,使得对折射率的改变变得敏感。通过引入石墨烯的衍生物氧化石墨烯(Graphene oxide,GO)和二维材料碳化钛(TiCT-MXene)对制备出的MTLPFG进行表面功能化之后,将其应用于生物化学传感实现对重金属钴离子和铅离子溶液进行了浓度检测和胃蛋白酶生物分子检测。本论文的主要研究成果有:1.基于聚多巴胺氧化石墨烯(PDA-GO)沉积的LPFG应用于对重金属钴离子溶液的浓度检测。制备了一种高灵敏度的、用于检测重金属离子的无标签化学传感器。分别为氧化石墨烯(GO)功能化的MTLPFG和聚多巴胺修饰(PDA)掺杂的氧化石墨烯功能化的MTLPFG。结合了化学键合与光镊效应的沉积方法,材料被均匀沉积在MTLPFG表面。采用扫描电子显微镜、傅里叶变换红外光谱(Fourier Transform infrared spectroscopy,FT-IR)和X射线光电子能谱(X-ray photoelectron spectroscopy,XPS)对PDA-GO这种复合材料的形貌和吸附过程中的化学键合进行了表征。在实验中,测量了检测钴离子在宽浓度范围从1 ppb到10 ppb,光谱中表现出在PDA浓度为0.05 g/L,并且在表征的角度证明了这一结论。相比较之下PDA-GO-MTLPFG的灵敏度高于GO-MTLPFG与MTLPFG,所对应的灵敏度为2.4×10 d B/ppb,并且具有良好的可复用性,提出的PDA-GO-MTLPFG在化学传感方面具有较高的应用价值。进一步地,将TiCT粉末通过液相剥离的方法制备成少层的TiCT分散液并且将其均匀地沉积在MTLPFG表面,制备成为TiCT-MTLPFG器件实现了对1 ppt-10ppt的铅离子溶液浓度的检测。对其表面进行了扫描电镜(Scanning Electron Microscope,SEM)和拉曼光谱(Raman spectra)表征,验证了器件的制备成功性。设置对照实验为MTLPFG测试铅离子溶液,对比之后发现TiCT-MTLPFG对于铅离子溶液的灵敏度高于MTLPFG。具体表现为TiCT-MTLPFG的中心波长的变化量相比较于MTLPFG有接近4倍的提高,而透射深度变化量相比较于MTLPFG提高了接近5倍,而对实验数据的散点拟合图分别表现出光谱的红移和透射深度的增加,推测是由于TiCT材料对铅离子的吸附导致了MTLPFG的模式耦合发生了变化。2.基于GO沉积的MTLPFG将其应用于对胃蛋白酶生物分子的浓度检测。提出了一种基于氧化石墨烯(GO)功能化的无标签、对折射率变化敏感的GO-MTLPFG传感器用于胃蛋白酶检测。通过使用EDC/NHS交联剂来活化GO表面的羧基(-COOH)基团使得更好的捕获溶液中的生物分子。得益于氧化石墨烯具有较大的比表面积和丰富的含氧基团,生物分子与氧化石墨烯之间可通过π-π键相互作用形成酰胺键。传感过程中的光谱变化趋势遵循朗缪尔吸附模式,说明生物分子在氧化石墨烯层上的吸附为化学吸附过程。对比了MTLPFG和GO-MTLPFG的检出限(LOD)分别为56.1ng/ml、10.8 ng/ml,对应有效检测范围分别为50～1000 ng/ml、10～1000 ng/ml。

关键词： 图卷积神经网络   张量运算   时空图   异构图  

摘要： 图卷积神经网络实现了卷积操作在图结构上的扩展,为引文网络、交通网络、社交网络和蛋白质等图结构数据的研究提供了新的解决思路。近年来,在图结构是同构静态的前提条件下,图卷积神经网络理论得到完善和丰富并应用于各个领域。但是实际应用中,许多图结构却不满足静态特性和同构特性,例如:存在多类节点和边的社交网络是异构图,节点状态随时间发生变化的交通网络是时空图。由于计算能力、内存和未完善的高维建模理论的限制,时空图和异构图现有的建模方案是在异构维度(时间维度)切片将其分离为多个静态同构的图,先独立建模每个图的空间关联再建模图之间的异构关联(时序关联),但这种两阶段的方式并不是基于高维空间的数据运算实现的,所以对高维复杂关联的建模是不充分的。本文基于相关张量运算理论的研究和推理,综合考虑了高维复杂关联建模及其计算复杂度和数据存储代价三个主要因素,提出了循环张量图卷积模型和基于Tucker分解的张量时空图卷积模型,并基于所研究的算法设计实现了智能交通监测系统。具体而言,本文的创新成果包括:(1)提出循环张量图卷积模型(Circulant Tensor Graph Convolutional Network,CTGCN)用于异构图的复杂关联建模。该方法基于T-乘积(t-product)张量运算推导了张量空间的线性变换,集成异构图内低维同构信息独立传递和高维异构信息融合到统一的张量图卷积模型。T-乘积运算构建的循环矩阵及其在傅里叶域的高效计算可以避免高维数据建模的参数灾难和计算灾难。此外,该方法还引入异构信息注意力机制融合异构信息来获得更判别的图节点嵌入表示。最后,通过图节点分类实验及相关分析验证了循环张量图卷积模型可以高效建模高维异构关联,并获得优异的性能。(2)提出基于张量分解的时空图卷积模型(factorized Spatial-Temporal Tensor Graph Convolutional Network,factorized ST-TGCN)用于时空图的复杂关联建模。该方法基于张量Tucker分解推导了时空图内部时空高维关联的统一建模方式,将原本需要分开建模的时序关联和空间关联集成到分解后因子矩阵上统一的建模。此外,采用张量分解截断可以缓解高维数据建模计算复杂度大、内存占用需求大的问题并抑制数据内部的噪声干扰。最后,通过交通速度预测实验证明了基于Tucker分解的张量时空图卷积模型可以高效建模高维时空关联,并获得优异的性能。(3)开发基于张量分解时空图卷积模型的智能交通监测系统,系统通过可视化传感器收集的路段速度数据和模型预测的路段速度数据,展示了实时交通状态和预测的未来交通状态,助力现代化城市交通规划。

关键词： 非线性波动方程   慢衰减小初值   整体迭代法   能量估计  

摘要： 本文旨在研究在慢衰减的小初值条件下，满足零条件的非线性三维波动方程组的解的存在时间问题，其柯西问题形式如下：(a)2tu??u=N(u,u),(u,(a)tu)|t=0=(f,g).其中N(u,u)是一类双线性形式的非线性项。　　我们证明了在径向对称的情况下，当小初值在低权重(x)的H4×H3空间时柯西问题具有整体解。为了得到整体解，我们借助于Li和Chen[1]的整体迭代法。先将非线性方程组线性化，在线性化问题的能量估计下，使用压缩映像原理，使得线性化方程组的解序列收敛到非线性方程组的解，最后得到我们期望的结果。

关键词： 深度学习   3D重建   卷积神经网络   张量分解  

摘要： 3D人脸重建和稠密对齐任务是计算机视觉领域的一个重要分支,通过对人脸的五官信息和轮廓细节信息的分析,神经网络可以学习其内在丰富的上下文语义信息,从而做出精确的预测。基于单张图像的3D人脸重建与稠密对齐是计算机视觉领域的一项挑战性任务,当前大部分3D人脸重建与稠密对齐任务在学习过程中缺乏从几何角度考虑人脸结构特征的相关性,使得神经网络在大姿态、强光照以及遮挡等复杂条件下很难恢复出精细的人脸重建结果与稠密关键点对齐。基于对以上问题的思考,本文旨在提出一种基于几何约束的3D人脸重建与稠密对齐方法,实现在大姿态、强光照等复杂环境中提高三维人脸重建与稠密对齐的精确度。此外,针对卷积神经网络训练参数大、模型复杂问题,尤其对于多视图三维重建任务中,神经网络参数更加庞大,模型更加复杂,本文设计一种自适应张量低秩分解卷积神经网络（ALRNet）,该方法能够有效降低卷积神经网络中的模型参数量,消除卷积神经网络（CNN）中的冗余特征信息,并很好保留数据的原始特征。本文的主要工作如下:1.提出几何约束用于3D人脸重建与稠密对齐,其目的是不仅从全局面部区域考虑其几何相关性,而且从面部局部块的几何法线方向同时约束网络学习细节信息。具体地说,本文采用几何面积损失来约束人脸全局结构信息。同时,对三维面部轮廓关键点进行三角剖分,并对剖分后的小三角面片求其法线,通过计算预测三角面片与其对应真值标签的几何法线一致性约束,以增强网络对局部几何细节和偏转角度的捕捉能力。本文仔细考虑了人脸的几何轮廓特征,并在深度神经网络的参数反传优化过程中提出了几何一致性损失约束函数,有效地增强了网络对图像数据细节信息的学习能力。2.设计自适应张量低秩分解网络用于多视图3D重建任务。张量分解会降低模型参数量,然而,张量分解不可避免会损失特征信息,导致重建性能会有一定的下降。本文通过引入一个可学习因子,将一个高维度矩阵分解为两个低维度矩阵的时候,通过可学习因子自适应分解低秩权重,该因子可以并入分解的两个低秩矩阵中的任何一个。通过自适应张量分解网络（ALRNet）,不仅有效降低了网络模型大小与权重参数量,而且对网络性能有一定的提升。3.设计并实现3D重建系统,对三维重建结果进行可视化展示,通过该系统使本文算法模型得到实际应用。

关键词： 张量合成注意力   残差网络   注意力机制   特征提取   图像分类  

摘要： 针对残差网络处理图像分类任务时提取特征不充分以及不能精确区分特征贡献度的问题,提出了一种基于张量合成注意力的Res Net图像分类模型。首先,采用残差网络Res Net-101作为模型骨干网络,通过卷积层来提取图像特征信息,并在残差网络卷积结构后嵌入张量合成注意力模块,对获取到的特征进行三张量积计算,得到注意力特征矩阵;然后,使用softmax函数对矩阵进行归一化,并为特征信息分配权重,进而区分特征贡献度,使模型更加关注对分类结果起决定性因素的特征;最后,将权重与其对应的键值加权求和,得到图像的完整特征信息,经由平均池化层及全连接层输出最终的图像分类结果。在自然图像数据集CIFAR-10、CIFAR-100和街牌号数据集SVHN上进行对比实验,分类准确率分别达到了96.12%、81.60%、96.67%,图像平均测试运行时间分别为0.0258s、0.0260s、0.0262s。张量合成注意力模块在图像经过高斯噪声、随机旋转、中心裁剪干扰情况下均具有良好的鲁棒性,且与原始Res Net-18、Res Net-34、Res Net-50以及Res Net-101相比,添加了张量合成注意力模块的残差网络分类准确率分别提高了0.97%、2.47%、6.26%、0.65%。实验结果表明,与ANODE、Sign-symmetry、Improved GAN、CLS-GAN、NNCLR、CCT-6/3x1、Res Net56 with re SGHMC等7种图像分类模型进行对比,提出的模型可以获得更高的分类准确率和更短的测试运行时间,且能够有效增强网络的特征学习能力。论文有图36幅,表14个,参考文献72篇。

关键词： 高阶张量低秩逼近   全变分   高阶张量代数框架   ADMM算法  

摘要： 进入21世纪,数字图像处理技术的重要性日益凸显,它在安防监控、计算机视觉、生物图像等应用领域起着举足轻重的作用。图像恢复是数字图像处理的一个最基础和重要的步骤,这是由于在实际应用中,原本干净的图像视频数据在传输过程中不可避免地会受到高斯噪声、椒盐噪声、随机脉冲噪声等的污染,从而影响后续的图像处理。本文围绕目前已有的低秩逼近方法对高阶图像数据恢复效果欠佳的问题,从提升模型处理数据的维度以及采用全变分正则两个方面研究基于高阶张量低秩逼近的图像恢复方法,主要取得了以下研究成果:针对已有低秩逼近方法维度限制的问题,本文考虑到现有的低秩逼近方法无法恢复或者要经过重塑处理才能恢复高阶图像数据,启发于处理高阶张量的循环思想,设计出能够对高阶张量直接进行处理的高阶张量低秩逼近模型。类似于矩阵以及三阶张量情况,本文证明了高阶张量核范数是高阶张量正向秩的紧凸松弛,从而保证利用该模型对目标高阶图像数据进行低秩逼近的合理性。进一步,本文基于流行的交替方向乘子法设计出该模型对应的求解算法,并进行了数值模拟、图像补全、图像去噪以及背景建模等一系列实验以验证方法的有效性。结果表明,在与相关算法的对比中,无论是数值结果还是直观的视觉展示,本文的方法对彩色视频数据的恢复效果更具竞争力。针对现有方法恢复图像细节能力不足的问题,本文考虑到大部分低秩逼近方法仅利用了全局空间信息,启发于全变分正则能够利用高阶张量各维度间的局部平滑性,从而提高模型对图像细节的恢复能力,提出了全变分正则高阶张量低秩逼近模型。其中,高阶张量的全变分可以表现为全部维度差分或者部分维度之间差分的累加,本文基于这种差异设计了两种不同的变体:高阶全局全变分与高阶正向全变分。通过将高阶核范数与全变分结合,这两种模型在利用数据固有的全局结构的同时挖掘了局部空间平滑性,增强了细节恢复能力,进而实现更有效的图像恢复。进一步,本文采用sGS-ADMM框架设计出相应的求解算法来解决此时的多块优化问题,并且应用到复杂噪声情况下的彩色视频恢复。实验结果表明,在与各种先进方法的对比中,两种方法总体上能达到更好的数值结果以及视觉恢复效果。

关键词： 非线性广义主成分分析   张量   低阶情形   高阶情形   形变反向传播  

摘要： 随着通信技术的不断升级,数字化转型的不断深入,经济社会产生的数据总量不断攀升,数据类型也日益丰富,高阶张量越来越频繁地出现在人们的视野中.在这样的时代背景下,数据压缩在统计研究领域受到广泛关注.在对国内外使用较多的数据压缩方法进行总结后,发现目前使用较多的数据压缩方法或是受限于模型的线性假设,或是不可显式表达,亦或是模型可解释性较弱.为了克服这些问题,本文在线性主成分分析方法的基础上,提出一种可显式表达且可解释的非线性数据压缩方法—非线性广义主成分分析方法（NGPCA）.由于高阶张量的空间结构更为复杂,低阶张量的线性代数运算已不再适用,因此,本文兼顾低阶与高阶情形,分别介绍了低阶非线性广义主成分分析方法（LO-NGPCA）及高阶非线性广义主成分分析方法（HO-NGPCA）.具体包括以下两部分工作:一、针对于低阶张量,本文设计了LO-NGPCA方法,并以二阶数据为例,对方法进行了说明.该方法在主成分分析方法的基础上,引入激活函数对投影后数据进行映射;同时,该方法可以从网络模型角度获得直观解释,它通过在特定位置引入形变子层以改变压缩方向,最终实现对二阶张量两个维度的同时压缩;此外,本文设计了该模型的“低阶形变反向传播算法”（LO-DBP）,进而对参数进行估计.最后,数值实验基于ORL数据库的公开数据集,其结果表明:算法具有收敛性且在同等或更为苛刻的压缩条件下,LO-NGPCA方法的压缩性能优于线性主成分分析类方法,包括主成分分析、二维主成分分析及广义主成分分析.二、针对于高阶张量,考虑到本文所设计的方法不会再随着阶数的增长而发生本质的变化,故以三阶张量为例对HO-NGPCA方法进行说明.本文在介绍高阶张量相关运算的基础上,根据所选取的压缩方向集的差异,分别介绍了深度为1及深度为的HO-NGPCA方法.不仅阐明了两种不同深度的HO-NGPCA方法的内在联系,还构建了对应的网络模型对方法予以直观解释,并基于“高阶形变反向传播算法”（HO-DBP）进行参数估计.最后,通过数值实验,分别说明了HO-DBP算法的收敛性及HO-NGPCA方法在压缩性能方面的优越性.