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关键词： Sasaki空间形式   爱因斯坦度量   平行Ricci张量   C-全实子流形   极小子流形  

摘要： Sasaki空间形式中有关C-全实子流形的研究作为子流形几何中一个重要的课题,备受关注.本文主要研究了 Sasaki空间形式N2n+1(c)中具有平行Ricci张量的C-全实极小子流形的分类问题,结果集中于n=3,4的情形.首先,我们利用Ricci张量的平行性以及经典的de Rham-Wu分解定理将分类问题划分为不同的情形.特别地,如果Sasaki空间形式N9(c)中的4维C-全实极小子流形具有爱因斯坦度量,我们证明它一定具有常截面曲率.其次,利用型算子的自伴性,我们成功地在一点处构造出具有典型性质的标架,进而巧妙利用清华原理,乘积流形的曲率表示和隐函数定理,我们得到局部的典型标架场和型算子对应的局部表达式.最后,将上述型算子的表达式与我们所构造的例子的计算结果相比较,并利用唯一性定理最终得到分类结果.

关键词： 张量分解   多维聚类   数据压缩   数据补全  

摘要： 随着数据规模的急剧增长,如何从海量高阶数据中挖掘有价值的信息成为大数据分析的关键挑战之一。张量分解为高阶张量数据提供了强大的处理和分析手段。而聚类分析作为重要的无监督学习方法,可在无标签条件下实现高效的数据压缩和特征学习。多维聚类不仅继承了经典聚类分析的优势,而且能充分利用高阶数据的多线性内部结构,实现多个维度的同步聚类,从而挖掘高阶张量数据多个维度之间的复杂关系。因此,多维聚类分析具有重要的理论研究价值和应用场景。然而,现有多维聚类算法通常先进行张量分解,然后在各个维度调用传统的聚类算法(如K-means),从而难以获得最优性能,且无法应对交叉隶属问题,同时也缺乏有效手段应对大规模或不完整数据带来的挑战。本文针对张量大数据聚类分析的交叉隶属、大规模和数据缺失三大挑战展开研究,取得的原创性成果包括:1.针对多维聚类的交叉隶属分析,提出一种基于近似正交非负Tucker分解的柔性多维聚类模型(AONTD)。该模型利用非负约束与聚类的等价性原理,揭示潜藏的稀疏“张量块”结构,实现高阶张量数据多维度间的同步聚类。另外,通过施加近似正交约束,使得模型能灵活应对多隶属或单隶属(“软/硬”)两种聚类任务,并且有效抵抗噪声干扰。而且,该模型还考虑了交叉隶属度“和为1”的约束,进一步保障交叉隶属分析结果的准确性。在算法优化方面,引入加速近端梯度(APG)和分层交替最小二乘(HALS)助力算法迭代,相比同类方法能获得更具竞争力的聚类表现。2.针对大规模张量数据的压缩处理,提出一种分布式随机Tucker分解算法(RandTucker)。该算法将大型张量分割为易处理的子张量并存贮在各个算力受限的计算机,从而将大张量的分解转化为多个小张量的分解。以此为基础实现灵活快速的CP分解(FFCP)和基于AONTD的高效多维聚类分析,为大规模张量的数据压缩和数据挖掘提供重要工具。3.针对数据的不完整性,提出了基于聚类框架的数据补全策略。传统补全策略主要利用数据的低秩特性,通过奇异值分解或其变式实现数据补全。由于奇异值分解会破坏数据的物理特性,本文提出了将多维聚类嵌入到张量填充过程的张量补全新策略。通过聚类分析与张量填充交互迭代,同步提升数据挖掘和数据补全的性能。该方法实现简单,而且可以保留数据的物理特性。总体而言,本文的研究为张量大数据分析提供了重要手段,进一步拓宽了张量分解的应用领域。

关键词： 光器件测量   光矢量分析   高精度   宽带   大动态范围  

摘要： 光子芯片的突破创新和研制生产不仅决定于设计和制造工艺,还依赖于测量手段。只有对光子芯片的多维参数进行高精度测量,才能对芯片设计和加工参数进行快速优化迭代。光矢量分析技术是测量多维(幅度、相位等)频谱响应的有效手段,现已成为光子芯片创新突破和研制生产的重要支撑。然而,光子芯片显著的耦合损耗和片上插损要求光矢量分析具备大动态范围,从而精确获取光子芯片的频谱响应。本文提出了基于受激布里渊散射的大动态光矢量分析技术,采用理论分析、数值仿真和实验验证相结合的方式,开展了受激布里渊散射提升光矢量分析动态范围的研究,有效提升了测试系统的动态范围。研究内容具体如下:建立了受激布里渊散射提升光矢量分析动态范围的数学解析模型,理论分析研究了受激布里渊散射提升基于光单边带扫频光矢量分析和基于调制相移法光矢量分析动态范围的机理,建立了受激布里渊散射增益与动态范围提升量之间的数学关系。结果表明,采用受激布里渊散射可有效提升光矢量分析的动态范围,还可以有效抑制非线性误差,提高测量精度。提出了面向基于光单边带扫频光矢量分析的动态范围提升技术。采用受激布里渊散射增益谱放大光单边带扫频信号的+1阶扫频边带,提升信号的边带抑制比,进而实现动态范围的提升。实验结果表明,光单边带中+1阶扫频边带放大了31.48 d B,动态范围提升了17.53 d B。此外,得益于+1阶扫频边带的增益,信号的边模抑制比得到提升,有效降低了非线性激励出的高阶边带引入的测量误差。提出了面向基于调制相移法光矢量分析的动态范围提升技术。采用受激布里渊散射增益谱放大强度调制信号的+1阶边带,同时采用损耗谱抑制-1阶边带,将强度调制信号转换为高边带抑制比的光单边带信号。+1阶边带的增益可有效提升动态范围,-1阶边带的抑制可消除大色散器件测量时的功率衰落。实验结果表明,+1阶边带放大了34.05 d B,-1阶边带抑制了22.85 d B,边带抑制比达56.90 d B,动态范围提升了14.01 d B。此外,还开展了基于受激布里渊散射的光矢量分析仪器化研究。所研制的原理样机测量范围覆盖C波段,动态范围大于67 d B,幅度测量精度优于±0.15 d B,时延测量精度优于±0.5 ps,相位测量精度优于±3°。综上所述,本文提出的基于受激布里渊散射的大动态光矢量分析技术,有效提升了光矢量分析的动态范围,可为光子芯片的突破创新和研制生产提供有力的支撑。

关键词： 变换域的稀疏和低秩   近端交替极小化算法   张量填充   高维数据复原  

摘要： 随着信息技术、通信技术、人工智能和大数据的发展,高维数据作为多维信息的载体,在各行各业中都起到了至关重要的作用。数字图像尤其是高维图像是最具代表性的高维数据。然而,高维图像在传输和存储的过程中经常会出现部分数据缺失的现象,严重影响对高维数据的后续处理。高维图像可以视为天然的张量,张量填充问题旨从观测到的不完整数据推断出未知部分的数据,已渐渐成为信号处理,图像处理,计算机视觉等领域的焦点。基于低秩核范数的张量填充的方法已在高维图像复原领域受到了广泛的关注。这类方法的核心思路是去挖掘三阶张量做沿第三维度的变换后的三阶张量的一系列正面切片的低秩性。然而,他们忽略了三阶张量不仅可以视为一些正面低秩切片的组合,也可以视为一些沿第三维的tube的组合,这些一维tube是在变换域下具有稀疏性。本文对基于变换的低秩张量核范数方法进行研究,主要研究内容如下:一、传统的基于变换的低秩张量核范数方法只考虑了变换域下正面切片的低秩性,忽略了变换域下第三维tube的稀疏性。本文提出了一种协同变换域的稀疏和低秩(CSLRT)的张量填充模型。在CSLRT中,核范数用来约束张量在学习的变换下的正面切片的低秩性,l范数用来约束张量在学习的变换下的沿第三维的tube的稀疏性。在我们的框架下,变换域下的稀疏性是作为变换域下低秩性的一个补充,二者有机结合,相互受益。进一步地,由于三阶张量的每一个维度都具有一定的相关性,我们提出了沿3个不同方向的CSLRT(3DCSLRT)模型去挖掘三阶张量沿不同维度的低秩性和稀疏性。二、由于所提出的CSLRT和3DCSLRT具有较强的非凸性,一般的凸优化方法难以对其进行求解。本文利用了多块近端交替极小化算法(PAM)对提出的非凸模型进行高效求解。在PAM的框架下,证明了算法的迭代序列是有界的,并且具有全局收敛性。在多光谱图像,灰度视频以及彩色图片三种不同类型真实数据上的张量填充实验表明,所提出的CSLRT和3DCSLRT不管是从视觉上还是指标上都优于比较的基于低秩张量填充方法。

关键词： 张量分解   数值算法   反问题   数据复原   低秩建模  

摘要： 科技的飞速发展使得现实生活中出现了大量的高维数据,如视频数据、高光谱遥感图像以及交通流量数据等。然而,由于诸多不可避免的因素,人们获取到的高维数据往往具有噪声干扰或元素缺失等退化现象。高维数据复原旨在利用退化的高维数据反演高质量的高维数据,是目前数学与信息科学交叉研究的热点与难点问题之一。高维数据复原问题在数学上可以建模为张量反问题,在求解上具有不适定性,因此需要引入高维数据的先验知识来稳定求解过程。近年来,得益于对高维数据全局相关性的强大捕捉能力,张量分解在高维数据复原问题中取得了很大的成功。然而现有张量分解方法仍存在许多不足之处。本文以高维数据复原中的关键数学问题为研究目标,围绕一个基础问题:发展新型张量分解方法及张量秩函数;两个实际问题:建立高维数据复原问题的张量优化模型和设计高性能求解算法展开研究。具体研究内容、贡献与创新点为:一、提出了全方向张量奇异值分解,解决了传统的张量奇异值分解无法灵活地刻画张量各个维度不同强度的相关性的问题。基于新分解,定义了张量fibered秩函数。由于直接极小化张量fibered秩的元素之和是非确定性多项式难问题,提出了fibered秩元素之和的凸松弛形式和非凸松弛形式。通过极小化这两种松弛形式建立了相应的高光谱图像混合噪声去除模型,设计了基于交替方向乘子方法的求解算法。数值试验结果表明了提出的方法在噪声去除和图像内在结构保护方面均优于对比的方法。二、在研究内容“一”的基础上,定义了一个新的张量展开算子,该算子按字典顺序将N阶张量的所有模k,k切片堆叠成三阶张量。继而定义了一个张量N-tubal秩,该秩函数适用于N(N≥3)阶张量且能够灵活地刻画张量各个维度不同强度的相关性,解决了张量奇异值分解导出的张量tubal秩和研究内容“一”中的张量fibered秩只适用于三阶张量的问题。为了有效地极小化N-tubal秩元素之和,定义了它的凸松弛形式,建立了相应的高维数据填充和稀疏噪声去除模型,并设计了基于交替方向乘子方法的求解算法。数值试验结果表明了在填充和去噪问题上提出的方法均优于对比的方法。三、为了解决张量链分解和张量环分解相关性度量能力有限和不具有转置不变性的问题,提出了一种新型全连接张量网络分解。全连接张量网络分解建立了任意两个因子间的多线性运算,具有两个优势:一是能够充分地刻画张量任意两个维度间的相关性;二是在数学上具有转置不变性。基于全连接张量网络分解,提出了全连接张量网络秩,建立了基于全连接张量网络分解的高维数据填充模型,设计了基于邻近交替最小化方法的求解算法并证明了它的理论收敛性。数值试验结果表明了基于全连接张量网络分解的方法优于基于其他张量分解的方法。四、在研究内容“三”的基础上,提出了基于因子正则的全连接张量网络分解,并建立了相应的高维图像填充模型。与只考虑全连接张量网络分解的模型相比,该模型可以同时刻画张量的全局低秩性和局部连续性,对全连接张量网络秩更鲁棒且能够更好地保护高维图像的局部细节信息。为了求解该模型,设计了一种基于邻近交替最小化方法的算法,并证明了它的理论收敛性。针对求解算法中子问题的结构特征,设计了一种快速的精确求解策略。数值试验结果表明了提出的方法在图像全局结构和局部细节信息的复原能力上均优于对比方法。

关键词： 医学图像配准   深度学习   卷积神经网络   磁共振图像   扩散张量图像  

摘要： 扩散张量成像(diffusion tensor imaging,DTI)是一种非侵入式活体大脑成像技术,其丰富了描述人脑微观解剖结构及功能特征的表示方法。扩散张量图谱在脑科学研究中扮演着重要角色,高质量的扩散张量图谱不仅能极大地促进大脑结构-功能关系的研究、临床医学研究和神经解剖学研究,还能推动人工智能、智慧医疗等领域的发展。目前基于迭代平均的传统扩散张量图谱构建算法耗时长且所构建的图谱难以捕获全局数据集的可变性;此外,基于DTI图谱的药物成瘾研究目前仍鲜见报道。针对这一现状,本文研究了基于深度学习的DTI配准算法,然后在此基础上设计了DTI图谱构建算法,并基于该算法构建的DTI图谱探究了药物成瘾对大脑组织结构的影响。具体工作如下:(1)提出了级联微分同胚DTI配准模型(cascade diffeomorphic network for DTI registration,CDnet-DTIR),该模型结合了微分同胚配准思想并且能够完成三维人脑DTI的快速精准配准。模型主要由两个配准子网络组成:部分各向异性(factional anisotropy,FA)参数图配准网络和平均扩散(mean diffusivity,MD)参数图配准网络。为了保证扩散张量图像空间变换后纤维方向与组织结构能够保持一致,本文在配准模型中设计了Log-Euclidean空间插值模块和重定向模块,这两个模块在网络训练过程中均能保证梯度反传。为了提高配准精度,本文提出利用宏观相似性度量和微观相似性度量作为损失函数指导网络模型训练。实验结果表明,CDnet-DTIR模型能够实现DTI全局解剖结构对齐,且配准实时性较高,满足临床实时配准需求。(2)将DTI图谱构建视为一个概率估计模型,在CDnet-DTIR模型的基础上,提出了基于卷积神经网络的DTI图谱构建算法。该算法不仅能够生成具有全局可变性的DTI图谱,同时还能快速完成扩散张量图像与图谱精准对齐。此外,为了探究药物成瘾对大脑组织结构的影响,本文利用实验室采集的健康人与药物成瘾者的图像数据创建了DTI图谱,并运用全脑体素分析(voxelbased analysis,VBA)方法和纤维束示踪的空间统计分析(tract-based spatial statistic,TBSS)方法统计分析了健康人与药物成瘾者的大脑结构差异。实验结果表明药物成瘾者与健康人在枕钳、胼胝体以及下额枕束等区域具有显著性差异。

关键词： 移动边界域   退化波动方程   乘子法   精确能控性   有限差分法  

摘要： 移动边界域上退化波动方程描述了具有固定端点和移动边界点的弦的运动,此类方程的研究是一个重要课题,有着重要的理论意义和应用价值.本文主要研究移动边界域上退化波动方程的内部精确能控性和相关方程的数值解法问题.研究了移动边界域上具有局部分布控制的一类退化波动方程的内部精确能控性,并考虑了两种不规则区域的控制.首先利用乘子法估计能量函数,从而导出能量不等式,其次选择合适的乘子来证明对偶系统是能观的.在对偶系统是能观的的情况下,建立原系统的内部精确能控性.采用有限差分法研究了移动边界域上一类退化波动方程的数值解法,并对其进行数值模拟.给出了两种数值求解该类方程的差分格式,这两种差分格式对时间方向采用二阶中心差分格式进行数值离散,对空间方向分别采用二阶中心差分格式,以及基于待定系数法的四阶差分格式进行数值离散.通过数值实验分析了二种格式的稳定性和收敛性,验证了这两种数值求解格式在解决此类问题时的有效性及可靠性.

关键词： 长周期光纤光栅   低交叉串扰   光纤温度传感器   光纤弯曲传感器   光纤位移传感器  

摘要： 在传感领域中,全光纤光栅因轻质量、耐腐蚀、抗电磁干扰等属性占据重要地位,其中长周期光纤光栅所展示出的优异传感特性使众多学者们争相研究。本文将单模光纤与特种光纤经过设计被剪切和拼接在一起制备出新型的长周期光纤光栅,除了在温度、弯曲和位移上展示了极好的传感特性外,传感器还具有两个物理参量间交叉串扰小的优势,体现为低应变、弯曲、折射率干扰的高灵敏度温度传感器,低温度串扰的高灵敏度弯曲传感器和低温度串扰的宽测量范围位移传感器。主要工作总结如下:首先,为获得具有低交叉串扰的高灵敏度温度传感器,利用渐变折射率多模光纤的自映像特性,将固定长度的渐变折射率多模光纤（700μm）与单模光纤（1000μm）交替拼接制备出超长周期光纤光栅。该传感器表现为仅对温度灵敏,而对折射率、应变、弯曲等物理参量不灵敏的实验现象。其次,将50μm阶跃折射率多模光纤和单模光纤以固定周期的复合排列方式,制备出超结构长周期光纤光栅。通过振幅解调的方式,该传感器的弯曲灵敏度达到17.28d B/m。此外4.772×10 m/℃的低温度-弯曲交叉灵敏度也提高了弯曲测量的准确性。最后,本文提出了一个大测量范围位移传感器。采用多模光纤与单模光纤交替拼接的方式制备出一支长周期光纤光栅,而后穿过一个中空的毛细管,并将其弯曲成一个气球型结构。通过改变气球型结构的弯曲直径发现,传输光谱在不同波长段内均有可监测的谐振峰。实验结果表明该传感器的监测范围可达到74 mm。并且10 pm/°C左右的低温度灵敏度也降低了对位移测量的影响。本论文提出的三种新型长周期光纤光栅不仅表现出优异的传感特性,更重要的是具有很低的交叉串扰能力,可以有效的抑制其他物理参量对监测物理量的干扰,提高测量精度。