关键词:
非局部应变梯度
时空分数阶
广义热传导
粘弹性
高阶剪切板
摘要:
纳米尺度结构在纳米机电系统以及纳米力学领域有重要意义,纳米板结构作为纳米系统中的重要器件之一,其小尺度力学行为对纳米结构的波传播、振动特性都存在影响。因此,对纳米尺度结构在空间和时间上的尺度效应的准确建模是主要关注的对象,这决定了相关的纳米器件的性能设计。分数阶非局部应变梯度弹性适合解释空间非局部行为,分数阶广义热传导与分数阶粘弹性适合描述热粘弹性的历史依赖行为。本文基于时空分数阶微分就热粘弹性纳米板的波传播特性以及振动特性的机理展开研究。本文主要研究内容和研究结果如下:
(1)考虑了小尺度效应和热弹性耦合效应,建立了正交各向异性高阶剪切微板模型,研究了弯曲波的色散和衰减特性。首先引入非局部应变梯度模型来反映尺寸效应,通过Hamilton变分原理推导了高阶纳米板的控制方程。接着引入广义热传导反映热传导的历史依赖特性。然后利用分数阶导数代替整数阶导数,得到一个更精细的模型。此外,在Caputo型分数阶导数中首次引入了非局部特征长度和记忆特征时间作为新的小尺度参数,重点描述了短程非局部行为和短期记忆行为。最后数值讨论了时空分数阶、非局部特征长度、记忆特征时间等参数对弯曲波色散和衰减特性的影响。研究表明了时空分数阶与特征长度/时间的适当结合,可以更精细地描述弯曲波的色散和衰减特性。
(2)研究了具有非局部特征长度和记忆特征时间的热弹性高阶剪切纳米板的自由振动特性。通过分数阶非局部应变梯度弹性以及分数阶广义热传导建立了高阶板的数学模型,拓展了具有特征长度/时间的分数阶导数的使用方法。然后利用Navier法得到了分数阶热弹性耦合纳米板的频率方程。数值讨论了小尺度参数、时空分数阶、非局部特征长度和记忆特征时间对板固有频率、振动衰减特性的影响。研究表明固有频率对较小的非局部特征长度敏感,衰减对较小的记忆特征时间敏感,即短期的相互作用和短时记忆占主导地位。
(3)研究了分数阶粘弹性地基上的分数阶热弹性纳米板在阶跃载荷下的动态响应。通过非局部应变梯度弹性和非局部热传导来描述空间非局部效应,用时间分数阶微分描述复杂的历史依赖效应。然后利用分数阶标准固体粘弹性地基模型和分数阶广义热传导模型,得到了分数阶微分控制方程。接着通过拉普拉斯变换法求解分数阶微分方程,瞬态响应的解析解用Mittag-Leffler函数表示,同数值解对比验证了解析解可靠性。研究表明振动衰减特性取决于热粘弹性分数阶参数对复模量和复刚度的影响规律。
(4)研究了基于非奇异核时空分数阶微分的纳米板在阶跃载荷下的热粘弹性响应。首先考虑了非奇异核分数阶导数在描述松弛/蠕变行为上的优点,给出了分数阶参数的具体的物理解释。比较了几种分数阶粘弹性模型的松弛/蠕变特性,然后得到具有三个时间分数阶参数的非奇异核分数阶热粘弹性板模型,并推导出了热粘弹性耦合的非奇异核分数阶微分控制方程。通过数值算例,得到了指数核与M-L核这两种非奇异核分数阶导数下的瞬态位移响应。研究表明具有非奇异核的热粘弹性模型改进了松弛过程的描述,时间分数阶与松弛时间密切相关。
上述研究内容和结果表明,相比于整数阶模型,分数阶非局部应变梯度模型可以更灵活地描述纳米板的空间上的小尺度力学行为,分数阶热弹性及分数阶粘弹性可以更好地描述热粘弹性纳米板的历史依赖行为。本研究可以为纳米传感器、谐振器等纳米结构器件的性能设计提供一定的理论指导。