关键词:
轴对称
弹性波
传播特性
势函数
Mindlin高阶板
摘要:
典型弹性波传播的直角坐标解大家耳熟能详,而圆柱等轴对称结构的波传播问题则不适合用直角坐标系进行描述。这类轴对称弹性波问题需要研究的是柱坐标变量下波沿径向传播的特征参数与表达式,包括有限尺寸圆柱和圆板中轴对称波的传播特性问题。轴对称Rayleigh波是半无限大弹性材料中存在的最简单的表面波。针对这个问题,位移解答采用势函数分析法,把Lamé方程运用位移矢量的Helmholtz分解得到一个齐次方程和一个非齐次方程,显然与直角坐标系的求解思路有所不同。对其中的非齐次方程使用函数变换使其齐次化,然后在柱坐标下分别对两个齐次波动方程求解,再根据弹性波径向传播过程中的Snell定律,分析波速、频率、波数及衰减系数之间的相互关系,获得完备的位移势函数,进而得到包括位移函数和应力函数的控制方程。再由应力边界条件,可得到速度方程,最后通过对势函数的数值计算最终求出位移场和应力场。同时也可以运用位移矢量的Hanson分解,求得位移在柱坐标系下的一般解答。轴对称Rayleigh波是非频散波,在柱坐标系下和直角坐标系有相同的速度方程。位移分量在轴向与直角坐标系下具有相同的衰减形式,但其径向以Bessel函数形式呈衰减振动,而直角坐标系下以三角数函数形式传播,无衰减特性。在基于Hanson分解的位移场中,环向位移在远场消失,仅存在径向位移和轴向位移,这与直角坐标系相似。与Rayleigh波类似,轴对称Stoneley波和轴对称Scholte波是两个完全接触的半无限大不同材料界面存在的两类表面波;轴对称Sezawa波和液体层状Rayleigh-Lamb波是层状半无限大固体空间界面存在另外两类表面波;轴对称Love波是层状半无限大固体空间界面存在最简单的SH型表面波。这几类波传播的位移解除了Love波的轴对称解可以采用位移直接代入法,其它型解均仍采用势函数分析法。研究表明,轴对称Stoneley波和轴对称Scholte波是非频散波,而轴对称Sezawa波和液体层状RayleighLamb波与轴对称Love波是频散波,其他的传播特性则与轴对称Rayleigh波相似。在特定的几何条件下,这几类典型轴对称波可以相互转换。轴对称Lamb波是无限大圆板中存在的另一类弹性波,也可以通过用势函数分析法来研究波的传播特性,其位移解答分为对称和反对称两种形式。实际工程应用中,我们更关注的是有限尺寸圆板的自由振动及位移模态的识别,为此需要引入了Mindlin高阶板理论。在柱坐标下把位移沿厚度坐标以幂级数形式展开,利用Hamilton变分原理,重新推导了圆板Mindlin高阶板方程,提取拉伸模态运动方程,对零阶和一阶圆板方程进行简化和截断,并基于无限大板对称振动频散曲线的截止频率,给出修正系数,建立二维平面圆板自由振动拉伸模态识别的理论体系。研究表明,位移的零阶幂级数截断可退化为经典板自由伸缩振动的Poisson理论,无频散,表征平面应力状态。在一阶幂级数截断近似理论中,径向拉伸模态与轴向拉伸模态具有强耦合性,而周向拉伸模态具有独立性,通过边界条件,最终得到了频谱关系与位移模态。通过对柱坐标系中经典表面波传播特性研究,我们获得了位移解析解,并从理论上分析了不同坐标系下的结果相同之处和需要特别注意的差异特征,提出了有限尺寸圆板自由振动拉伸模态识别的新方法,为工程振动分析应用提供了理论和方法。轴对称解和直角坐标解的显著不同,特别是在原点附近的较大变形和奇异解,说明了轴对称类结构波传播问题中采用柱坐标系解的重要性,这样可以对波动强度做更精准的估计。这些结果表明,在波动信号的处理中,不同的坐标系选择可能得到明显不同的结果,需要根据目标的几何形状对结果进行合理判断和选择。