关键词:
幂次型非线性薛定谔方程
整体适定性
自由散射
修正散射
拟共形变换
Strichartz估计
Banach不动点定理
衰减估计
摘要:
本学位论文中,我们重点研究以下幂次型非线性薛定谔方程(?)(NLS)解的整体适定性和散射问题,其中0<α<4/n且g∈R,m=0,1.对于方程(NLS)的散射问题,Fujita指标2/n是一个临界指标.本文首先讨论了当α>2/n且g=0时,方程(NLS)解的整体适定性和散射问题.另一方面,我们还研究了当0<α<2/n时方程(NLS)的自由散射和修正散射态的不存在性.全文共分为五个章节:第一章在总结和回顾前人对于方程(NLS)解的整体适定性和散射性质结果的基础之上,介绍了本文的主要研究成果.具体来说,我们首先证明了当α>(?)时,方程(NLS)(其中g=0)的解满足整体适定性,并且具有自由散射态,该结果以定理1.1的形式呈现.为了证明该结果,我们运用了拟共形变换,将方程(NLS)解的整体适定性和散射问题转化为对应方程的局部适定性和解的渐近行为.其间,我们主要运用了 Banach不动点定理,Strichartz估计以及连续性方法,得到了我们的结果.其次我们还证明了当0<α<2/n时,方程(NLS)(其中g≠0)不具有自由散射和修正散射态,具体详见定理1.2-1.5.我们通过构造恰当函数,利用L2内积和反证法说明了我们的结论成立.第二章主要定义本文常用的记号,以及叙述为了证明主要结论所必需的定义、引理及性质.这中间主要包括Fourier变换和常用的赋范空间,以及Sobolev嵌入和Strichartz估计等.第三章阐述本文结论中定理1.1的证明.我们首先利用拟共形变换,将原方程转化为对应的方程(NLS-3),然后利用Banach不动点定理证明了(NLS-3)在[0,1)上是局部存在的.接着利用爆破准则和连续性方法,说明当初值充分小时,该解在[0,1)上是整体存在的,并且具有一定的衰减性质.利用衰减性从而得到解具有自由散射态.定理1.2-1.5的证明在本文的第四章中阐述.第四章首先给出了定理1.2和1.3的证明思路.在反证法的框架下,在L2空间中,利用非线性项的各自结构,我们构造一个恰当函数,通过L2内积导出了矛盾,从而得到我们所要证明的结果.第四章的第三节证明了定理1.4和1.5,证明过程与定理1.2和1.3的证明类似.在最后一章中基于本文所得到的研究成果,我们阐述了目前关于方程(NLS)解的整体适定性和散射问题中仍然存在的一些开放性问题.